Es un conjunto de números reales que se corresponden con los puntos de un segmento o una semirrecta en la recta real. Según incluyan o no los puntos extremos, los intervalos pueden ser abierto, semiabiertos o cerrados.
Debemos tener en cuenta los números reales como la unión entre conjuntos de los números racionales e irracionales encontrados en la recta real.
CLASES DE INTERVALOS
CERRADOS
Se define como el conjunto d los números reales que se encuentran entre dos números reales que se incluyen en forma simbólica.
[a.b] => [x€ R: a ≤ x ≤ b]
[-3,5] => [x€ R: -3 ≤ x ≤5
ABIERTOS
Se define como el conjunto de los números reales que se encuentran entre dos números reales que no se incluyen.
(a, b) [x€ R: a< x <b]
(3,8) => [x€ R: 3< x <8]
SEMIABIERTOS
Combinando los dos anteriores se define otras clases de intervalos.
Semiabierto a la izquierda o semicerrado a su derecha y solo incluye uno de los extremos.
(a,b] => [x€ R: a< x ≤b]
(2,3] => [x€ R: 2< x ≤3]
Semiabierto a la derecha y cerrado a la izquierda
[a,b) => [x€ R: a≤ x ≤b]
[1,3) => [x€ R: 1≤ x ≤3]
INTERVALOS INFINITOS
Es el conjunto de los números reales que son mayores que un número real dado [A,+∞)
Es el conjunto de los números reales menores que un real dado (-∞, a]
El conjunto de los reales infinitos (-∞, ∞) x€ R
EJEMPLO:
1. Considere los siguientes intervalos:
A = [-3, 3] ; B = (-3, 3) ; C = [-1, 4] ; D = (-4, 5].
Dibujar sobre la recta real y escribir con notación de intervalo el resultado de las siguientes operaciones:
a) A u D b) A Ç C c) B – C
d) A Ç (B u C) e) B* (el complemento de B) f) C* (el complemento de C)
Solución
En primer lugar, se dibuja cada uno de los intervalos dados en la recta real, para luego efectuar de una manera mas sencilla las operaciones propuestas.
Definimos sobre la recta real :
PUNTO ROJO CERRADO: PUNTO BLANCO ABIERTO
Asi que:
a. A u D = D = (-4, 5] = {x x R / -4 < x £ 5}
b. Como la intersección de dos conjuntos, corresponde al conjunto de elementos comunes, se deduce de las gráficas que:
A Ç C = [-1, 3] = { x x R / -1 £ x £ 3}c. La diferencia entre los conjuntos B y C se define como el conjunto formado por los elementos que están en B, pero que no están en C, esto es, el intervalo (-3, -1).
Asi que: B-C=(-3,-1)={ x x R / -3 < x < -1}
Igualmente, C - B = [3, 4] = { x x R / 3 £ x £ 4}
d. En primer lugar, B u C = (-3, 4] = { x x R / -3 < x £ 4}
De la gráfica anterior, se deduce que: A Ç (B u C) = (-3, 3] = { x x R/ -3 < x £ 3}e. En este caso, el conjunto Universal o referencial es R .
Asi que:
B* = R - B = (- ¥ , -3] U [3, +¥) = { x x R / x < = -3 v x >= 3}
Igualmente, C* = R - C = (-¥ , -1) U (4, +¥ )= {x x R/ x < -1 v x > 4}
